【定期テスト直前】四角錐の体積の求め方とケアレスミスを防ぐ計算手順を徹底解説！

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公立高校の入試問題や定期テストの後半大問では、四角錐の「高さ」が最初から与えられていないケースが一般的です。その代わりに「底面の1辺の長さ」と「側面の斜辺（母線）」が提示されます。ここで活躍するのが三平方の定理（$a^2 + b^2 = c^2$）です。

正四角錐の高さを求める手順は、次の2段階に集約されます。

ステップ1：底面の対角線の長さを求める

底面が1辺 $4\text{cm}$ の正方形である場合、正方形の対角線は直角二等辺三角形の斜辺となるため、長さは $4\sqrt{2}\text{cm}$ となります。正四角錐の頂点から底面に下ろした垂線の足は、底面の対角線が交わる中心に一致します。したがって、底面の中心から正方形の各頂点までの距離は、対角線の半分である $2\sqrt{2}\text{cm}$ になります。

ステップ2：内部の直角三角形から高さを算出する

側面の斜辺（母線）が $6\text{cm}$ だとします。「四角錐の高さ $h$」「底面の中心から頂点までの距離 $2\sqrt{2}\text{cm}$」「母線 $6\text{cm}$」で構成される直角三角形に着目します。三平方の定理を適用すると以下の計算が成立します。

$$h^2 + (2\sqrt{2})^2 = 6^2$$

$$h^2 + 8 = 36$$

$$h^2 = 28$$

$$h = 2\sqrt{7}\text{cm} \quad (h > 0)$$

高ささえ求まれば、あとは基本公式に代入するだけです。底面積は $4 \times 4 = 16\text{cm}^2$ ですから、体積は $16 \times 2\sqrt{7} \times \frac{1}{3} = \mathbf{\frac{32\sqrt{7}}{3}\text{cm}^3}$ となります。空間図形の中から適切な「断面」を抜き出し、2次元の直角三角形として再構築できるかが高得点の鍵です。