循環小数を分数で表す方法はなぜ9が並ぶ？仕組みの謎と裏技を徹底解剖

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Q1：なぜ「0.999…」は「1」と等しくなるのですか？
A1：方程式の手法を用いると、$x = 0.999\dots$ と置いたとき、$10x = 9.999\dots$ となります。引き算を行うと $10x - x = 9.999\dots - 0.999\dots$ より $9x = 9$ となり、$x = 1$ が導かれます。また、$1/3 = 0.333\dots$ の両辺を3倍すると $3/3 = 0.999\dots$ となり、左辺が1であることからも数学的に完全に一致することが証明されます。

Q2：分母が「9」にならない循環小数は存在しますか？
A2：変換した直後の分数は必ず分母が9や90、990といった形式になりますが、最終的に既約分数への約分を行うことで、分母が9以外の数値になるケースは多々あります。例えば $0.\dot{3}$ は $3/9$ を約分して分母が「3」になりますし、$0.1\dot{6}$ は $15/90$ を約分して「1/6」となります。

Q3：循環小数はどんな分数からでも生まれますか？
A3：既約分数に直した際、分母を素因数分解して「2」と「5」以外の素因数が含まれている場合、その分数は必ず循環小数になります。逆に、分母の素因数が2と5のみで構成されている分数は、有限小数（割り切れる小数）になります。