小学生から高校数学まで！学年別でわかる四角錐の体積の求め方と完全攻略法

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高校入試や中学数学で最も頻出するのが、「底面の1辺と母線（側面の辺の長さ）しかわからず、高さが明記されていない正四角錐」の問題です。この場合、立体から「2段階の直角三角形」を頭の中で抜き出せるかが勝負の分かれ目になります。

ステップ1：底面の対角線の長さを求める

正四角錐の底面が1辺 \( a \) の正方形である場合、底面の対角線の長さは直角二等辺三角形の比（\( 1:1:\sqrt{2} \)）より、\( \sqrt{2}a \) となります。頂点から下ろした垂線は底面の対角線の中心（交点）に落ちるため、対角線の半分の長さは \( \frac{\sqrt{2}}{2}a \) です。

ステップ2：母線と対角線の半分から三平方の定理で高さを導く

母線の長さを \( l \)、四角錐の高さを \( h \) とすると、頂点・底面の中心・底面の1つの頂点の3点で構成される三角形は直角三角形になります。三平方の定理より：

\[ h^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2 = l^2 \]

\[ h = \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{2}} \]

こうして高さ \( h \) が求まれば、あとは基本公式「\( \frac{1}{3} \times a^2 \times h \)」に代入するだけで正確な体積が算出できます。