三乗の公式一覧と超効率的な暗記法｜展開・因数分解から対称式変形まで徹底解説

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三乗の公式を使いこなすためには、教科書の基本例題から定期テスト・入試頻出の応用問題へのステップアップが不可欠です。代表的な計算問題と演習問題の解法アプローチを解説します。

パターン1：基本の展開計算

【問題】 (2x + 3y)³ を展開せよ。

公式 (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ において、a = 2x、b = 3y と置きます。

展開式 ＝ (2x)³ + 3(2x)²(3y) + 3(2x)(3y)² + (3y)³

＝ 8x³ + 3(4x²)(3y) + 3(2x)(9y²) + 27y³

＝ 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³

パターン2：符号が複雑な因数分解

【問題】 8x³ - 27 を因数分解せよ。

まず、各項が何の3乗になっているかを見抜きます。8x³ = (2x)³、27 = 3³ です。

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) の公式を適用します。

因数分解 ＝ (2x - 3)((2x)² + (2x)(3) + 3²)

＝ (2x - 3)(4x² + 6x + 9)