なぜ540度になる？五角形の内角の和を図解で証明！三角形分割の仕組みを徹底解説

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Q1: 凹五角形（1つの頂点が内側にへこんだ五角形）でも内角の和は540度になりますか？
A1: はい、へこんだ頂点の内角が180度を超える凹五角形であっても、内角の和は正確に540度になります。辺同士が交差しない単純多角形であれば、凹多角形でも必ず三角形分割が可能であり、分割定理が完全に成立するためです。

Q2: 多角形の内角の和公式「180×(n－2)」の「－2」は何を意味していますか？
A2: 1つの頂点から対角線を引く際、「自分自身の頂点」と「両隣の2つの頂点」の計3箇所には対角線を引くことができません。引ける対角線の本数が常に(n－3)本となり、それによって区切られる三角形の面数が対角線の本数より1つ多い「(n－3) ＋ 1 ＝ (n－2)個」になることを示しています。

Q3: 外角の和がどんな多角形でも360度になるのはなぜですか？
A3: 多角形の外周に沿って進むとき、各頂点での曲がり角（外角）の合計は「平面上をぐるりと1周して元の向きに戻る動き」そのものを表すためです。頂点が100個あっても、1周回る総回転量は必ず360度（2πラジアン）になります。